Actualités mathématiques

Cédric Villani présente « Mathématique en Poésie », une conférence littéraire et scientifique d'1h15 au Théâtre de Poche Montparnasse, où il dévoile la vraie nature de l'art mathématique : créatif, imaginatif, rhythmé d'harmonies et de suspense. En mêlant histoire des sciences et parcours personnel, il convoque les grands poètes — Omar Khayyam, Lewis Carroll, Paul Valéry, Blaise Cendrars ou Vénus Khoury Ghata — pour éclairer ces deux arts cousins.

Cette rencontre originale entre le monde des chiffres et celui des lettres se tient chaque lundi à 21h, du 7 septembre au 28 décembre 2026, au Théâtre de Poche Montparnasse dans le 6e arrondissement de Paris. Les billets sont disponibles à partir de 35,20 euros.

En onze jours seulement, des agents IA fondés sur le modèle Claude d'Anthropic ont produit la première démonstration entièrement vérifiée par ordinateur du dernier théorème de Fermat — un résultat que la communauté mathématique estimait devoir prendre plusieurs années à accomplir.

Formulé en 1637 par le mathématicien français Pierre de Fermat, ce célèbre théorème affirme qu'il n'existe aucun triplet d'entiers positifs a, b, c vérifiant l'équation an + bn = cn pour un exposant entier n supérieur à 2. Fermat nota dans la marge d'un livre qu'il possédait une « démonstration merveilleuse », mais que la marge était trop étroite pour la contenir. Pendant plus de 350 ans, des générations de mathématiciens cherchèrent en vain cette preuve. C'est finalement le mathématicien britannique Andrew Wiles qui en publia la première démonstration correcte en 1995, après avoir corrigé une faille critique identifiée lors de la vérification — correction réalisée avec son ancien étudiant Richard Taylor. Cette preuve de 129 pages repose sur des outils mathématiques modernes très éloignés de ce que Fermat pouvait connaître.

La nouveauté de l'exploit d'Anthropic ne réside pas dans la découverte d'une nouvelle démonstration, mais dans sa formalisation : il s'agit de traduire la preuve de Wiles en un langage informatique, Lean, que la machine peut vérifier pas à pas, comme une calculatrice vérifie un calcul. Cette opération, connue sous le nom d'autoformalization, est particulièrement ardue : là où un mathématicien peut sauter des étapes jugées évidentes, Lean exige que chaque étape soit explicitement justifiée, et ne peut s'appuyer que sur les portions de mathématiques déjà formalisées. Kevin Buzzard, professeur à l'Imperial College London, avait lancé dès 2024 un effort collaboratif pour mener à bien cette formalisation, dont le seul plan directeur de la première phase couvre 86 pages.

Le projet a été conduit par Tianyi Peng, chercheur chez Anthropic et professeur assistant à l'Université Columbia, en s'appuyant sur la plateforme ouverte Prove2Me qu'il a co-développée. Des dizaines d'agents Claude ont collaboré en parallèle, définissant des concepts, démontrant des théorèmes intermédiaires et assemblant progressivement la preuve complète. Au total, ils ont produit 13 millions de lignes de code Lean — plus de cinq fois la taille de Mathlib, la principale bibliothèque communautaire de preuves formalisées — et établi quelque 29 500 théorèmes intermédiaires, en consommant environ 6 milliards de tokens. Les interventions humaines se sont limitées à quelques orientations de haut niveau, du type « avancer le théorème de Mazur en priorité ».

Les premières tentatives se soldèrent par des échecs : les agents perdaient rapidement le fil du projet et cessaient de coordonner efficacement leurs efforts. L'utilisation de Prove2Me a permis de résoudre ces difficultés de coordination. Buzzard a salué le résultat comme un accomplissement extraordinaire, relevant que la preuve ne repose que sur trois axiomes fondamentaux et couvre simultanément l'algèbre, la géométrie, l'analyse harmonique et la théorie des nombres.

Au-delà du symbole, Anthropic souligne l'enjeu pratique : à mesure que l'IA produit des preuves mathématiques à un rythme croissant, la formalisation automatique permettrait de vérifier mécaniquement leur validité, sans surcharger des experts humains. La preuve complète a été mise en accès libre sur GitHub.

Le Conseil européen de la recherche (CER) vient de dévoiler les lauréats de ses bourses « Starting Grants » pour 2026, destinées aux chercheurs en début de carrière. En Israël, sept scientifiques issus des universités de Tel Aviv et de Bar-Ilan figurent parmi les heureux sélectionnés, chaque bourse représentant plus de 5,25 millions de shekels sur cinq ans.

À l'université Bar-Ilan, deux chercheurs se distinguent avec une enveloppe combinée de 3,47 millions d'euros. La professeure Reuma Gadassi-Polack, de la Faculté d'éducation, recevra 1,97 million d'euros pour explorer une direction peu étudiée en psychologie : au lieu de mesurer l'effet des parents sur la santé mentale des enfants, elle s'intéressera à la manière dont les difficultés émotionnelles des adolescents peuvent affecter en retour leurs mères. Son équipe combinera suivi du quotidien, analyses hormonales et imagerie cérébrale, avec l'espoir de déboucher sur des thérapies centrées sur l'ensemble du noyau familial. Le docteur Arnold Filtser, spécialiste d'informatique et d'intelligence artificielle, bénéficiera quant à lui d'1,5 million d'euros pour concevoir de nouveaux outils algorithmiques adaptés à des situations où distances et coûts obéissent à des règles asymétriques ou irrégulières — comme le prix d'un billet d'avion qui varie selon le sens du trajet ou selon qu'une escale est incluse. Ces travaux pourraient améliorer la conception de réseaux de transport et de communication. L'université Bar-Ilan a souligné que ces deux chercheurs « remettent en question des hypothèses établies de longue date dans leurs domaines respectifs ».

À l'université de Tel Aviv, cinq autres chercheurs ont également décroché ces bourses dans des disciplines variées. Ran Finkelstein explore la manipulation d'atomes individuels par laser pour construire des processeurs quantiques de nouvelle génération. Sharon Fleischer développe un « coeur sur puce » à base de cellules souches humaines pour étudier les maladies cardiaques. Amit Vinograd analyse les circuits neuronaux liés aux émotions comme la peur ou l'agressivité à l'aide de techniques de microscopie avancée. Or Zamir conçoit des algorithmes plus rapides pour résoudre des problèmes fondamentaux de théorie des graphes. Enfin, Michael Chapman mobilise des outils issus de la physique quantique pour s'attaquer à des problèmes algébriques jugés insolubles par les méthodes classiques.

MathémaTICE publie son numéro 101 consacré à différentes pratiques d'enseignement des mathématiques, du cycle des apprentissages fondamentaux au lycée. Au coeur de ce dossier : des activités concrètes comme une journée crêpes en CM2, l'exploration de la géométrie numérique par le Tangram, et une analyse approfondie du rôle du vocabulaire mathématique dans l'apprentissage.

La revue approfondit les connexions historiques et contemporaines entre mathématiques et informatique, avec des pistes pédagogiques autour du puzzle Curvica. Elle examine aussi l'usage de ChatGPT pour concevoir des activités en formation supérieure (BTS), ainsi que les parcours scientifiques. Complétant ces contributions, le numéro comprend ses rubriques habituelles sur les femmes en mathématiques, l'histoire de la discipline et des ressources pour les enseignants.

Des chercheurs ont développé FAR, un système d'IA capable de fouiller automatiquement des milliers d'articles scientifiques pour y extraire des problèmes mathématiques ouverts et proposer des solutions. Plutôt que de recevoir une conjecture précise à résoudre, l'IA reçoit simplement un domaine de recherche et identifie elle-même les questions non résolues dans la littérature.

Le système offre un double intérêt : d'une part, il automatise le repérage de problèmes intéressants (une tâche chronophage pour les mathématiciens) ; d'autre part, il propose des démonstrations candidates qui restent soumises à vérification humaine. Une expérience en combinatoire illustre l'efficacité du tri : sur 51 110 articles initiaux, FAR en a extrait 6 453 conjectures potentiellement ouvertes, qui ont finalement été réduites à 77 résultats jugés suffisamment prometteurs pour l'examen par des experts.

Les auteurs ont validé manuellement 15 résultats parmi les plus intéressants et tous se sont avérés mathématiquement corrects, bien qu'un seul ait été identifié comme découvert ailleurs quelques mois auparavant. Le système repose sur des vérifications multiples et ne confère aucune légitimité mathématique à une preuve produite par l'IA seule.

À l'occasion de sa conférence de rentrée, le directeur de Sciences Po, Luis Vassy, a annoncé une modification notable des critères d'admission au Bachelor, qui prendra effet pour les candidats postulant à la rentrée 2027. La principale nouveauté réside dans la suppression des notes de contrôle continu du premier bloc d'admissibilité, remplacées par les résultats aux épreuves anticipées du baccalauréat passées en fin de première. Dans cette nouvelle configuration, la note écrite de l'épreuve anticipée de français représentera 60 % de l'évaluation, l'épreuve anticipée de mathématiques 30 %, et l'oral de français les 10 % restants.

Ce choix de s'appuyer sur des épreuves nationales communes s'explique en partie par les inégalités de notation entre établissements : selon Luis Vassy, les notes de contrôle continu sont « relativement muettes » face à des dossiers où quasiment tous les candidats affichent des moyennes comprises entre 16 et 20. Le second bloc d'admissibilité reste, lui, qualitatif, et s'intéresse au parcours scolaire du candidat à travers les appréciations des enseignants et le rang dans la classe, plutôt qu'aux notes elles-mêmes.

La place accordée aux mathématiques — une matière dont l'épreuve anticipée a été introduite pour les lycéens de première seulement l'an dernier — est présentée comme un signal fort. « Ça va être difficile d'entrer à Sciences Po en étant analphabète en mathématiques », a déclaré Luis Vassy, insistant sur la nécessité pour les lycéens à profil littéraire de ne pas délaisser cette discipline. Pour les doubles diplômes, les coefficients pourront être modulés selon la spécialisation, afin de ne pas pénaliser des profils excellents par ailleurs.

Ces évolutions s'inscrivent dans une réforme plus large du Bachelor, dont le déploiement complet est prévu à la rentrée 2026. Le programme intègre désormais un cours obligatoire sur les relations internationales, un enseignement consacré à l'intelligence artificielle, ainsi qu'un module d'épistémologie destiné à former les étudiants à la méthode scientifique et à « distinguer le vrai du faux ». Des séquences intensives — qualifiées de « bootcamps » — seront proposées en mathématiques, en anglais et en français pour les étudiants qui en ont besoin. Deux nouveaux doubles bachelors internationaux sont également annoncés : l'un avec l'ESCP Business School, l'autre avec une grande école brésilienne de gestion, la FGV EAESP de São Paulo.

Les modèles mathématiques utilisés pour comprendre comment les traits biologiques et facteurs environnementaux influencent la formation et l'extinction des espèces sont devenus essentiels à la biologie moderne. Cependant, ces modèles présentent une faiblesse connue : ils peuvent mener à des conclusions erronées. Pendant des décennies, les chercheurs ignoraient pourquoi.

Sergei Tarasov (Musée finlandais d'Histoire naturelle) et Josef Uyeda (Virginia Tech) ont abordé le problème sous un angle nouveau, en partant d'une question apparemment simple : comment regrouper logiquement des états similaires dans un modèle mathématique ? Leur travail a mené à la découverte d'une nouvelle représentation des modèles de Markov, appelée « Hidden Expansion », qui expose des symétries mathématiques jusque-là invisibles. Cette décomposition révèle que de nombreuses histoires évolutives fondamentalement différentes peuvent produire exactement les mêmes observations biologiques.

Les chercheurs montrent que cette ambiguïté mathématique n'est pas un simple artefact statistique, mais découle de la structure profonde des modèles eux-mêmes. Leur cadre n'élimine pas complètement le problème, mais clarifie ses origines et ses limites, offrant des pistes pour développer des méthodes plus fiables à l'avenir.